Информация о задаче

Задача 56493

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Решение

Пусть E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA.
а) Ясно, что S_AEH + S_CFG = ${\frac{S_{ABD}}{4}}$ + ${\frac{S_{CBD}}{4}}$ = ${\frac{S_{ABCD}}{4}}$ . Аналогично S_BEF + S_DGH = ${\frac{S_{ABCD}}{4}}$ . Поэтому S_EFGH = S_ABCD - ${\frac{S_{ABCD}}{4}}$ - ${\frac{S_{ABCD}}{4}}$ = ${\frac{S_{ABCD}}{2}}$ .
б) Так как AC = BD, то EFGH — ромб (задача 1.2). Согласно задаче a) S_ABCD = 2S_EFGH = EG^.FH.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	3
Название	Отношение площадей подобных треугольников
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.037