ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56733
Тема:    [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть f (x, y) = x2 + y2 + a1x + b1y + c1 и g(x, y) = x2 + y2 + a2x + b2y + c2. Докажите, что для любого вещественного $ \lambda$$ \ne$1 уравнение f - $ \lambda$g = 0 задаёт окружность из пучка окружностей, порождённого окружностями f = 0 и g = 0.

Решение

Если $ \lambda$$ \ne$1, то

$\displaystyle {\frac{1}{1-\lambda}}$(f - $\displaystyle \lambda$g) = x2 + y2 + $\displaystyle {\frac{a_1-\lambda a_2}{1-\lambda}}$ + $\displaystyle {\frac{b_1-\lambda b_2}{1-\lambda}}$ + $\displaystyle {\frac{c_1-\lambda c_2}{1-\lambda}}$.

Поэтому согласно задаче 3.53B радикальная ось окружностей f - $ \lambda$g = 0 и f - $ \mu$g = 0 задаётся уравнением $ {\frac{1}{1-\lambda}}$(f - $ \lambda$g) = $ {\frac{1}{1-\mu}}$(f - $ \mu$g). Если $ \lambda$$ \ne$$ \mu$, то после очевидных преобразований получаем уравнение f = g. Таким образом, радикальная ось этих окружностей совпадает с радикальной осью окружностей f = 0 и g = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 11
Название Пучки окружностей
Тема Радикальная ось
задача
Номер 03.070B1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .