Информация о задаче

Задача 56733

Тема:

[

Радикальная ось

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть f (x, y) = x² + y² + a₁x + b₁y + c₁ и g(x, y) = x² + y² + a₂x + b₂y + c₂. Докажите, что для любого вещественного $\lambda$ $\ne$ 1 уравнение f - $\lambda$ g = 0 задаёт окружность из пучка окружностей, порождённого окружностями f = 0 и g = 0.

Решение

Если $\lambda$ $\ne$ 1, то

$\displaystyle {\frac{1}{1-\lambda}}$ (f - $\displaystyle \lambda$ g) = x² + y² + $\displaystyle {\frac{a_1-\lambda a_2}{1-\lambda}}$ + $\displaystyle {\frac{b_1-\lambda b_2}{1-\lambda}}$ + $\displaystyle {\frac{c_1-\lambda c_2}{1-\lambda}}$ .

Поэтому согласно задаче 3.53B радикальная ось окружностей f - $\lambda$ g = 0 и f - $\mu$ g = 0 задаётся уравнением ${\frac{1}{1-\lambda}}$ (f - $\lambda$ g) = ${\frac{1}{1-\mu}}$ (f - $\mu$ g). Если $\lambda$ $\ne$ $\mu$ , то после очевидных преобразований получаем уравнение f = g. Таким образом, радикальная ось этих окружностей совпадает с радикальной осью окружностей f = 0 и g = 0.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	11
Название	Пучки окружностей
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.070B1