Задача 56721

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки C опущен перпендикуляр CH на прямую AB. Докажите, что общая хорда окружности S и окружности S₁ с центром C и радиусом CH делит отрезок CH пополам.

Решение

Пусть M — середина отрезка CH. Требуется доказать, что точка M лежит на радикальной оси окружностей S и S₁, т.е. её степени относительно этих окружностей равны. Пусть радиусы окружностей S и S₁ равны 2R и 2r. Тогда степень точки M относительно окружности S₁ равна CM² - 4r² = - 3r², а её степень относительно S равна OM² - 4R², где O — середина отрезка AB. Ясно, что OH² = 4R² - 4r², поэтому OM² = 4R² - 4r² + r² = 4R² - 3r². Следовательно, OM² - 4R² = - 3r².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	10
Название	Радикальная ось
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.059B