Задача 56506

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине.
  а) M – точка медианы AA₁ (или её продолжения), равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁MC₁ = φ.
  б) O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

Решение

а) Пусть B' – точка пересечения прямой AC и перпендикуляра к прямой AB₁, восставленного из точки B₁; точка C' определяется аналогично. Так как
AB' : AC' = AC₁ : AB₁ = AB : AC,  то  B'C' || BC.  Если N – середина отрезка B'C', то, как следует из задачи 56505,  NC₁ = NB₁  (то есть  N = M)  и
∠B₁NC₁ = 2∠AB'B₁ = 180° – 2∠CAB₁ = φ.

  б) Построим на стороне BC внешним образом равнобедренный треугольник BA₁C с углом  360° – 2φ  при вершине A₁ (если  φ < 90°,  строим внутренним образом треугольник с углом 2φ). Так как сумма углов при вершинах трёх построенных равнобедренных треугольников равна 360°, треугольник A₁B₁C₁ имеет углы  180° – φ,  ^φ/₂ и ^φ/₂ (см. задачу 56503). В частности, этот треугольник равнобедренный, а значит,  A₁ = O.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные равные треугольники
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.050