Задача 56503

Темы:    [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах A', B' и C', причём  α + β + γ = 180°.  Докажите, что углы треугольника A'B'C' равны α, β и γ.

Решение

Заметим сначала, что сумма углов при вершинах A, B и C шестиугольника AB'CA'BC' равна 360°, так как по условию сумма его углов при остальных вершинах равна 360°. Построим на стороне AC' внешним образом треугольник AC'P, равный треугольнику BC'A' (см. рис.). Тогда треугольники AB'P и CB'A' равны, так как   AB' = CB',  AP = CA'  и  ∠PAB' = 360° – ∠PAC' – ∠C'AB' = 360° – ∠A'BC' – ∠C'AB' = ∠A'CB'.  Следовательно, треугольники C'B'A' и C'B'P равны, а значит,  2∠A'B'C' = ∠PB'A' = ∠AB'C,  так как  ∠PB'A = ∠A'B'C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные равные треугольники
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.047