Информация о задаче

Задача 55637

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и разности углов, прилежащих к третьей.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно высоты треугольника.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть BC = a, AC = b, $\angle$ B - $\angle$ A = $\gamma$ .

При симметрии относительно высоты, опущенной из вершины C, точка B переходит в точку B₁ на стороне AB (предполагаем, что b > a). По теореме о внешнем угле треугольника

$\displaystyle \angle$ ACB₁ = $\displaystyle \angle$ CB₁B - $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ ABC - $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \gamma$ .

Треугольник AB₁C можно построить по сторонам AC = b, B₁C = a и углу между ними: $\angle$ ACB₁ = $\gamma$ . Построив после этого точку B, симметричную B₁ относительно высоты, проведённой из вершины C, получим третью вершину искомого треугольника ABC.

Если (a - b)^. $\gamma$ > 0, то задача имеет единственное решение. Если a - b = 0 и $\gamma$ = 0, то решений бесконечно много. Иначе — решений нет.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5089