Задача 55609

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что в треугольнике шесть точек — середины сторон и основания высот — лежат на одной окружности ("окружности девяти точек").

Подсказка

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Решение

Пусть A₁, B₁, C₁ — середины сторон BC, AC, AB треугольника ABC; A₂, B₂, C₂ — основания высот. Поскольку треугольник CB₂B — прямоугольный, то

B₂A₁ = BC = C₁B₁.

Кроме того, A₁C₁ || B₁B₂. Поэтому A₁C₁B₁B₂ — равнобедренная трапеция. Следовательно, точки A₁, C₁, B₁ и B₂ лежат на одной окружности.

Аналогично докажем, что точки A₂ И C₂ лежат на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

Кроме того, эта окружность содержит еще середины отрезков, соединяющих вершины треугольника ABC с точкой пересечения его высот (окружность девяти точек), касается вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха); её центр является серединой отрезка, соединяющего центр описанной окружности и точку пересечения высот.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5059