ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55594
УсловиеС помощью циркуля и линейки постройте остроугольный треугольник по основаниям двух его высот и прямой, содержащей третью высоту.
ПодсказкаВысоты остроугольного треугольника делят пополам углы его ортотреугольника (т.е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного).
РешениеПредположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть B1 и C1 — данные основания его высот BB1 и CC1, а высота AA1 лежит на данной прямой l. Тогда треугольник A1B1C1 — ортотреугольник треугольника ABC. Следовательно, лучи A1A, B1B и C1C — биссектрисы углов треугольника A1B1C1. Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку M, симметричную точке C1 относительно данной прямой l. Пересечение прямой B1M с прямой l дает основание A1 третьей высоты искомого треугольника (т.к. прямая l делит угол C1A1B1 пополам). Обозначим через H точку пересечения биссектрис треугольника A1B1C1. Через точки B1 и C1 проведём прямые, соответственно перпендикулярные биссектрисам углов B1 и C1 треугольника A1B1C1. Пусть эти прямые пересекаются в точке A, Обозначим точку пересечения прямых AC1 и B1H буквой B, а прямых AB1 и C1H — буквой C. Докажем, что ABC — искомый треугольник, т.е., что AA1, BB1 и CC1 — высоты построенного треугольника ABC. Действительно, пусть
Кроме того, из равенства
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |