Информация о задаче

Задача 55551

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Готман Э.Г.

Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CD, и в треугольники ACD и BCD вписаны окружности с центрами P и Q. Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает катеты AC и BC в точках M и N, а высоту CD — в точке K. Докажите, что:

а) треугольники CMN и CBA подобны;

б) точки C, M, N, P и Q лежат на окружности с центром K, радиус которой равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что KQ || BC и KP || AC.

Решение

Поскольку KP и KQ — биссектрисы смежных углов, то $\angle$ PKQ = 90^o. Аналогично $\angle$ PDQ = 90^o. Поэтому точки K и D лежат на окружности с диаметром PQ. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ KPQ = $\displaystyle \angle$ KDQ = 45^o.

Поэтому PKQ — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Докажем теперь, что прямоугольный треугольник PDQ подобен треугольнику ACB. Действительно, треугольник ADC подобен треугольнику CDB по двум углам, а т.к. коэффициент подобия равен отношению ${\frac{r_{1}}{r_{2}}}$ радиусов вписанных окружностей этих треугольников, то

$\displaystyle {\frac{DP}{DQ}}$ = $\displaystyle {\frac{r_{1}\sqrt{2}}{r_{2}\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r_{1}}{r_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$ .

Следовательно, треугольники PDQ и ACB подобны. Тогда

$\displaystyle \angle$ QKD = $\displaystyle \angle$ DPQ = $\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ BCD,

поэтому KQ || CB. Аналогично KP || CA. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ CMN = $\displaystyle \angle$ MKP = $\displaystyle \angle$ DKP = $\displaystyle \angle$ PQD = $\displaystyle \angle$ CBA.

Значит, треугольник CMN подобен треугольнику CBA.

Поскольку $\angle$ CMK = $\angle$ ABC = $\angle$ ACD, то треугольник MKC — равнобедренный, поэтому KC = KM. Аналогично KC = KN.

Поскольку KQ || CN, а CQ — биссектриса угла KCN,

$\displaystyle \angle$ CQK = $\displaystyle \angle$ QCN = $\displaystyle \angle$ QCK.

Поэтому треугольник CKQ — равнобедренный и KQ = KC. Аналогично KP = KC. Следовательно, точки C, M, N, P и Q лежат на окружности с центром K. Вычислим радиус этой окружности.

Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника ABC. Тогда

r² = r²₁ + r²₂, PQ² = PD² + QD² = 2r²₁ + 2r²₂ = 2r².

Следовательно, KQ = ${\frac{PQ}{\sqrt{2}}}$ = r.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4874