|
|
 |
Условие
Точка X движется по окружности с центром O. На каждом радиусе OX откладывается отрезок OM, длина которого равна расстоянию от точки X до заданного диаметра окружности. Найдите геометрическое место точек M.
Подсказка
Пусть CD – диаметр окружности, перпендикулярный данному диаметру AB. Используя признаки равенства треугольников, докажите, что радиус OC (или OD) виден из точки M под прямым углом.
Решение
Пусть CD – диаметр данной окружности, перпендикулярный
данному диаметру AB, X – произвольная точка дуги AC,
X1 и X2 – проекции точки X на AB и OC соответственно. Тогда OC = OX, OM = XX1 = OX2.
Поэтому треугольники CMO и XX2O равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, ∠CMO = ∠XX2O = 90°.
Следовательно, точка M лежит на окружности с диаметром OC.
Аналогично то же доказывается для любой другой точки данной окружности.
Рассмотрим теперь произвольную точку N окружности с диаметром OC. Пусть X – точка пересечения луча ON с исходной
окружностью, X1 и X2 – проекции точки X на AB и OC соответственно. Тогда прямоугольные треугольники CNO и XX2O равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно,
ON = OX2 = XX1.
Аналогично то же проверяется для любой точки окружности с диаметром OD. <.P>
Ответ
Две равные касающиеся окружности.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4798 |
