ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55460
УсловиеОснование каждой высоты треугольника проектируется на боковые стороны треугольника. Докажите, что шесть полученных точек лежат на одной окружности.
ПодсказкаДокажите сначала, что четыре из указанных проекций, лежащие на двух сторонах треугольника, образуют вписанный четырёхугольник, а затем — что каждая из двух оставшихся проекций лежит на описанной окружности этого четырёхугольника.
РешениеРассмотрим случай остроугольного треугольника. Пусть B2 и C2 — проекции основания A1 высоты AA1 на стороны AC и AB треугольника ABC. Аналогично определяются проекции C3, A2 и B3, A3 оснований B1 и C1 высот BB1 и CC1 (см. рис.). Докажем сначала, что точки B2, B3, C2 и C3 лежат на одной окружности. Обозначим ACB = . Точки B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Поэтому
B1C1A = ACB = .
Точки B3 и C3 лежат на окружности с диаметром
B1C1.
Поэтому
C3B3A = B1C1A = .
Точки A, C2, A1 и B2 лежат на одной окружности. Поэтому
AC2B2 = AA1B2 = ACB = .
Следовательно,
B2B3C3 + C3C2B2 = (180o - ) + = 180o.
Значит, четырёхугольник
B2B3C3C2 — вписанный.
Из аналогичных рассуждений следует, что CA2B2 = CBA. Поэтому прямая A2B2 || BA. Значит,
B2A2C3 = BB1A2 = ACB = = B2C2C3.
Следовательно, точка A2 лежит на описанной окружности
четырёхугольника
B2B3C3C2.
Аналогично для точки C3.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|