ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55460
Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Радикальная ось ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основание каждой высоты треугольника проектируется на боковые стороны треугольника. Докажите, что шесть полученных точек лежат на одной окружности.


Подсказка

Докажите сначала, что четыре из указанных проекций, лежащие на двух сторонах треугольника, образуют вписанный четырёхугольник, а затем — что каждая из двух оставшихся проекций лежит на описанной окружности этого четырёхугольника.


Решение

Рассмотрим случай остроугольного треугольника. Пусть B2 и C2 — проекции основания A1 высоты AA1 на стороны AC и AB треугольника ABC. Аналогично определяются проекции C3, A2 и B3, A3 оснований B1 и C1 высот BB1 и CC1 (см. рис.).

Докажем сначала, что точки B2, B3, C2 и C3 лежат на одной окружности. Обозначим $ \angle$ACB = $ \gamma$. Точки B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Поэтому

$\displaystyle \angle$B1C1A = $\displaystyle \angle$ACB = $\displaystyle \gamma$.

Точки B3 и C3 лежат на окружности с диаметром B1C1. Поэтому

$\displaystyle \angle$C3B3A = $\displaystyle \angle$B1C1A = $\displaystyle \gamma$.

Точки A, C2, A1 и B2 лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$AC2B2 = $\displaystyle \angle$AA1B2 = $\displaystyle \angle$ACB = $\displaystyle \gamma$.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$B2B3C3 + $\displaystyle \angle$C3C2B2 = (180o - $\displaystyle \gamma$) + $\displaystyle \gamma$ = 180o.

Значит, четырёхугольник B2B3C3C2 — вписанный.

Из аналогичных рассуждений следует, что $ \angle$CA2B2 = $ \angle$CBA. Поэтому прямая A2B2 || BA. Значит,

$\displaystyle \angle$B2A2C3 = $\displaystyle \angle$BB1A2 = $\displaystyle \angle$ACB = $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \angle$B2C2C3.

Следовательно, точка A2 лежит на описанной окружности четырёхугольника B2B3C3C2. Аналогично для точки C3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4782

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .