ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55443
УсловиеОкружности радиусов r и R касаются друг друга внутренним образом. Найдите сторону правильного треугольника, у которого одна вершина находится в точке касания данных окружностей, а две другие лежат на разных данных окружностях.
ПодсказкаПримените теорему об угле между касательной и хордой и теорему косинусов.
Решение
Первый способ.
Пусть R > r, AMB — равносторонний треугольник, M — точка касания окружностей, A — точка на большей окружности, B — на меньшей, P — точка пересечения стороны MA с меньшей окружностью, K — точка пересечения продолжения стороны MB с большей окружностью. Углы MBP и MKA равны, т.к. оба они равны углу между прямой MA (MP) и общей касательной к окружностям, проведённой через точку M. Следовательно, треугольники MBP и MKA подобны. Поскольку
BP = 2r sinBMP = 2r sin 60o = r,
AK = 2R sinKMA = 2R sin 60o = R,
то коэффициент подобия этих треугольников равен
.
Обозначим MB = MA = AB = a. Тогда
KM = , BK = a - 1,
а т.к.
KBA = 120o, то по теореме косинусов из треугольника ABK
раходим, что
3R2 = - 1a2 + a2 + - 1a2.
Отсюда следует, что
a = .
Второй способ.
Пусть R > r, O1 и O2 — центры окружностей, AMB — равносторонний треугольник, M — точка касания окружностей, A — точка на большей окружности, B — на меньшей. Рассмотрим поворот вокруг точки M, при котором точка B переходит в точку A. При этом повороте центр O2 меньшей окружности перейдёт в некоторую точку Q, причём O1MQ = 60o, а отрезок MA делится прямой O1Q пополам. По теореме косинусов из треугольника O1MQ находим, что
O1Q = .
Пусть MK — высота треугольника O1MQ. Тогда
O1Q . MK = O1M . QM . sinO1MQ,
откуда находим, что
AM = 2MK = = .
Ответ.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|