Задача 55411

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC параллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L.
Докажите, что прямая KL делит отрезок OA пополам.

Подсказка

Если M – точка пересечения прямых AO и KL, то треугольники MOL и MKO подобны.

Решение

  Пусть лучи AO и BC сонаправлены. Обозначим через M точку пересечения прямых AO и KL. Тогда  ∠MOL = ∠BCL = ∠BKL = ∠MKO.
  Поэтому треугольники MOL и MKO подобны. Следовательно,  MO : ML = MK : OM,  или  OM² = ML·MK.
  С другой стороны, по теореме о касательной и секущей  AM² = ML·MK.  Следовательно,  AM = OM.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	2
Название	Произведение длин отрезков хорд
Тема	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих
задача
Номер	03.011
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4731