Информация о задаче

Задача 55332

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь параллелограмма	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей AC и BD равна 36, угол CAD равен 60^o. Отношение площадей треугольников AOD и BOC, где O — точка пересечения диагоналей, равно 4. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Пусть K — точка пересечения прямой, проходящей через вершину B параллельно AC, с продолжением основания AD. Примените к треугольнику KBD теорему косинусов.

Решение

Из подобия треугольников AOD и COB следует, что BC = 8. Через вершину B проведём прямую, параллельную диагонали AC, до персечения продолжением основания AD в точке K. Обозначим BK = AC = x. Тогда

BD = 36 - x, AK = BC = 8, $\displaystyle \angle$ BKD = 60^o.

По теореме косинусов

BD² = KB² + KD² - 2KB^.KD cos 60^o,

или

(36 - x)² = x² + 24² - 24x.

Из этого уравнения находим, что x = 15. Следовательно

S_ABCD = S_KBD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ KB^.KD sin 60^o =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.15^.24^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 90 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

90 $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4079