ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54963
Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ]
[ Площадь параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.


Подсказка

Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного — параллеллограмм.


Решение

Первый способ.

Пусть d1 и d2 — диагонали данного четырёхугольника, $ \alpha$ — угол между ними. Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного — параллелограмм со сторонами $ {\frac{1}{2}}$d1 и $ {\frac{1}{2}}$d2 и углом $ \alpha$ между ними. Его площадь равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$d1 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$d2sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin \alpha}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$d1d2sin$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin \alpha}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S.

Второй способ.

Пусть S — площадь данного четырёхугольника ABCD, s — площадь четырёхугольника, вершины которого — середины K, L, M и N сторон AB, BC, CD и AD соответственно.

Поскольку KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC, то

S$\scriptstyle \Delta$KBL = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABCS$\scriptstyle \Delta$MDN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ADC.

Поэтому

S$\scriptstyle \Delta$KBL + S$\scriptstyle \Delta$MDN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ADC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(S$\scriptstyle \Delta$ABC + S$\scriptstyle \Delta$ADC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S.

Аналогично

S$\scriptstyle \Delta$KAN + S$\scriptstyle \Delta$MCL = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S.

Следовательно,

s = S - S$\scriptstyle \Delta$KBL - S$\scriptstyle \Delta$MDN - S$\scriptstyle \Delta$KAN - S$\scriptstyle \Delta$MCL = S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S.


Ответ

$ {\frac{1}{2}}$S.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3019

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .