Задача 54680

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Известно, что  AI ⊥ B₁C₁.  Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

Луч AI – биссектриса угла A. Пусть отрезки AI и B₁C₁ пересекаются в точке K. В треугольнике AB₁C₁ биссектриса AK является высотой, поэтому треугольник B₁AC₁ – равнобедренный. Значит, AI – серединный перпендикуляр к отрезку B₁C₁. Прямые AB и AC симметричны относительно AI, прямые B₁I и C₁I также симметричны относительно AI. Следовательно, и точка B пересечения AB и B₁I симметрична точке C пересечения AC и C₁I. Значит,
AB = AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2626