Задача 54654

Темы:    [ Вписанные четырехугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно, причём  BD + DE = BC  и  BE + ED = AB.  Известно, что четырёхугольник ADEC – вписанный. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

  Четырёхугольник ADEC – вписанный, поэтому  ∠CAD = ∠BED,  значит, треугольники ABC и EBD подобны по двум углам. Следовательно,
BD : BC = BE : AB.  По условию  ^BD/_BC + ^DE/_BC = 1 = ^BE/_AB + ^ED/_AB,  откуда  ^ED/_AB = 1 – ^BE/_AB = 1 – ^BD/_BC = ^DE/_BC.
  Следовательно,  AB = BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2600