Задача 54567

Темы:    [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Построение треугольников по различным элементам ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум углам A, B и периметру P.

Подсказка

Примените метод подобия или отложите на продолжениях стороны AB отрезки, равные сторонам AC и BC.

Решение 1

  Строим произвольный треугольник A₁B₁C₁ с углами  ∠A₁ = ∠A  и  ∠B₁ = ∠B  и находим его периметр P₁. Искомый треугольник подобен построенному с коэффициентом ^P/_P1.

Решение 2

  Предположим, что треугольник ABC построен. На продолжении отрезка AB за точку B отложим отрезок BB₁, равный BC, а на продолжении отрезка AB за точку A – отрезок AA₁, равный AC. Треугольники A₁AC и B₁BC – равнобедренные. Поэтому  ∠A₁ = ½ ∠A,  ∠B₁ = ½ ∠B,
A₁B₁ = A₁A + AB + BB₁ = AC + AB + BC = P.

  Треугольник, равный треугольнику A₁B₁C, строим по стороне (равной P) и двум прилежащим к ней углам  (∠A₁ = ½ ∠A,  ∠B₁ = ½ ∠B).  Серединные перпендикуляры к сторонам A₁C и B₁C пересекают отрезок A₁B₁ в искомых вершинах A и B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2462