ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54559
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A, B и C лежат на одной прямой (точка B расположена между точками A и C). Через точки A и B проводятся окружности, а через точку C — касательные к ним. Найдите геометрическое место точек касания.


Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.


Решение

Если M — одна из точек касания, то

CM2 = CA . CB.

Следовательно, точка M лежит на окружности с центром C и радиусом, равным $ \sqrt{CA\cdot CB}$.

Рассмотрим теперь любую точку P этой окружности, не лежащую на прямой AC. Опишем окружность около треугольника APB. Тогда треугольники APC и PBC подобны, поскольку угол C у них общий, а $ {\frac{AC}{PC}}$ = $ {\frac{PC}{BC}}$, т.к. PC = $ \sqrt{AC\cdot BC}$. Поэтому

$\displaystyle \angle$CPB = $\displaystyle \angle$PAC = $\displaystyle \angle$PAB.

Если касательная, проведённая к описанной окружности треугольника APB в точке P, пересекает луч BC в точке C1, то

$\displaystyle \angle$C1PB = $\displaystyle \angle$PAB = $\displaystyle \angle$CPB.

Поэтому точки C1 и C совпадают. Следовательно, CP — касательная к окружности, проходящей через точки A и B.

Если M — одна из точек касания, то

CM2 = CA . CB.

Следовательно, точка M лежит на окружности с центром C и радиусом, равным $ \sqrt{CA\cdot CB}$.

Рассмотрим теперь любую точку P этой окружности, не лежащую на прямой AC. Опишем окружность около треугольника APB. Тогда треугольники APC и PBC подобны, поскольку угол C у них общий, а $ {\frac{AC}{PC}}$ = $ {\frac{PC}{BC}}$, т.к. PC = $ \sqrt{AC\cdot BC}$. Поэтому

$\displaystyle \angle$CPB = $\displaystyle \angle$PAC = $\displaystyle \angle$PAB.

Если касательная, проведённая к описанной окружности треугольника APB в точке P, пересекает луч BC в точке C1, то

$\displaystyle \angle$C1PB = $\displaystyle \angle$PAB = $\displaystyle \angle$CPB.

Поэтому точки C1 и C совпадают. Следовательно, CP — касательная к окружности, проходящей через точки A и B.

Если M — одна из точек касания, то

CM2 = CA . CB.

Следовательно, точка M лежит на окружности с центром C и радиусом, равным $ \sqrt{CA\cdot CB}$.

Рассмотрим теперь любую точку P этой окружности, не лежащую на прямой AC. Опишем окружность около треугольника APB. Тогда треугольники APC и PBC подобны, поскольку угол C у них общий, а $ {\frac{AC}{PC}}$ = $ {\frac{PC}{BC}}$, т.к. PC = $ \sqrt{AC\cdot BC}$. Поэтому

$\displaystyle \angle$CPB = $\displaystyle \angle$PAC = $\displaystyle \angle$PAB.

Если касательная, проведённая к описанной окружности треугольника APB в точке P, пересекает луч BC в точке C1, то

$\displaystyle \angle$C1PB = $\displaystyle \angle$PAB = $\displaystyle \angle$CPB.

Поэтому точки C1 и C совпадают. Следовательно, CP — касательная к окружности, проходящей через точки A и B.


Ответ

Окружность без двух точек.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2453

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .