ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54557
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения высот треугольника ABC.


Подсказка

Выразите угол между высотами AA1 и BB1 через угол C.


Решение

Пусть H — точка пересечения высот AA1 и BB1 треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \angle$AHB = 180o - $\displaystyle \angle$C.

Поэтому точка пересечения высот каждого треугольника ABC лежит на окружности, симметричной данной относительно прямой AB.

С другой стороны, каждая точка окружности, симметричной данной относительно прямой AB (за исключением двух точек, лежащих на перпендикулярах к AB, проходящих через точки A и B), является точкой пересечения высот треугольника ABC с вершиной C, лежащей на данной окружности.


Ответ

Окружность без двух точек.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2451

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .