|
|
 |
Условие
На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные a и b.
Найдите основание треугольника.
Решение
Пусть окружность Ω, построенная как на диаметре на боковой стороне AB равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковую сторону AC в точке K, причём CK = a, AK = b.
Первый способ. ∠AKB = 90°. По теореме Пифагора BK² = AB² – AK² = (a + b)² – b² = a(a + 2b), BC² = BK² – CK² = a(a + 2b) + a² = 2a(a + b).
Второй способ. Пусть Ω пересекает основание BC в точке M. Тогда ∠AMB = 90°, то есть AM – высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию. Значит, M – середина BC.
Из точки C к окружности проведены две секущие, поэтому
CM·CB = CK·CA, или ½ CB² = a(a + b).
Ответ
или
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1989 |
