Задача 54038

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 20^o. Докажите, что боковая сторона больше удвоенного основания, но меньше утроенного.

Решение

На боковой стороне AC данного равнобедренного треугольника ABC отложим отрезок CD, равный основанию BC. Тогда

ABD = 80^o - 50^o = 30^o,

значит, в треугольнике ABD угол ABD больше угла BAD, поэтому AD > BD > BC (в равнобедренном треугольнике BDC основание BD лежит против большего угла C). Следовательно,

AC = AD + CD > BC + CD = 2BC.

Пусть точка B₁ симметрична точке B относительно прямой AC, а точка B₂ симметрична B₁ относительно AB₁. Тогда

BAB₁ = 3BAC = 60^o, AB₂ = AB,

поэтому треугольник BAB₂ — равносторонний. Следовательно,

AB = BB₂ < BC + CB₁ + B₁B₂ = 3BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1801