ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53941
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении  1 : 3.  Найдите острые углы треугольника.


Подсказка

Проведите медиану из вершины прямого угла.


Решение

  Пусть окружность, построенная как на диаметре на катете BC прямоугольного треугольника ABC, пересекает гипотенузу AB в точке D, отличной от B, причём AD : BD = 3 : 1.

  Первый способ.  Проведём медиану CM. Тогда  AM = CM.

  В прямоугольном треугольнике CDM гипотенуза CM вдвое больше катета DM. Поэтому  ∠DCM = 30°,  а ∠AMC = 60°.  Угол при вершине M равнобедренного треугольника AMC равен 60°. Следовательно, этот треугольник равносторонний. Поэтому   A = 60°.

  Второй способ.  (BC/AC)² = AD/BD = 3,  то есть  tg∠A =


Ответ

30°, 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1705

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .