ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53898
Темы:    [ Две пары подобных треугольников ]
[ Центр масс ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
Название задачи: Теорема Ван-Обеля.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A1, B1, C1 лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC, причём отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке K.
Докажите, что  AK/KA1 = AB1/B1C + AC1/C1B.


Решение 1

Через вершину A проведём прямую, параллельную BC, до пересечения с прямыми BB1 и CC1 в точках P и Q соответственно. Тогда треугольник AB1P подобен треугольнику CB1B, треугольник AC1Q – треугольнику BC1C, а треугольник PKQ – треугольнику CKB. Следовательно,
AB1/B1C + AC1/C1B = AP/BC + AQ/BC = PQ/BC = AK/KA1.


Решение 2

Поместим в вершину A массу 1, в B – массу  p = AC1/C1B,  в C – массу  q = AB1/B1C.  Тогда точка K – центр тяжести этой системы материальных точек и
AK/KA1 = p+q/1 = AC1/C1B + AB1/B1C.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1663

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .