ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53859
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через точку P, лежащую на медиане CC1 треугольника ABC, проведены прямые AA1 и BB1 (точки A1 и B1 лежат на сторонах BC и CA соответственно).
Докажите, что  A1B1 || AB.


Решение

  Пусть $A_2$ – середина отрезка $A_1B$. Тогда $C_1A_2$ – средняя линия треугольника $ABA_1$, и, следовательно, $A_1P || C_1A_2$. Тогда из теоремы Фалеса $CA_1 : A_1A_2 = CP : PC_1$, и, поскольку $A_1B = 2A_1A_2$, справедливо $CA_1 : A_1B = CP : 2 PC_1$. Аналогично, $CB_1 : B_1A = CP : 2 PC_1.$ Поэтому $CB_1 : B_1A = CA_1 : A_1B$. Следовательно, $A_1B_1 || AB$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 1
Название Подобные треугольники
Тема Подобные треугольники
параграф
Номер 1
Название Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер 01.004
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1624

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .