|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP – точка N так, что углы BMC и ANC – прямые. Расстояние между точками M и N равно 4 + 2, угол MCN равен 30°. Найдите биссектрису CL треугольника CMN.
Подсказка
Поскольку MD и NP – высоты прямоугольных треугольников BMC и ANC, проведённые из вершин прямых углов, то CM² = BC·CD = AC·CP = CN².
Решение
Из подобия прямоугольных треугольников ACD и BCP следует, что CD : AC = CP : BC, откуда BC·CD = CP·AC.
Поскольку MD и NP – высоты прямоугольных треугольников BMC и ANC, проведённые из вершин прямых углов, то
CM² = BC·CD = AC·CP = CN², поэтому CM = CN.
Биссектриса CL равнобедренного треугольника CMN является его высотой и медианой, следовательно,
CL = ML ctg∠MCL = ½ MN ctg 15° = = (2 +
)² = 7 + 4
.
Ответ
7 + 4.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1466 |
