Дана последовательность чисел x₁, x₂, ... . Известно, что 0<x₁<1 и x_k+1=x_k-x_k² для всех k>1. Докажите, что x₁²+x₂²+...+x_n²<1 для любого n>1.

   Решение

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что прямая, проходящая через центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC, перпендикулярна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и вершину A.

Решение

Пусть O₁ и O₂ – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC. Точки O₁ и O₂ лежат на биссектрисе внешнего угла A, которая перпендикулярна биссектрисе угла A, проходящей через центр вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования