ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35373
Тема:    [ Рекуррентные соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана последовательность чисел x1, x2, ... . Известно, что 0<x1<1 и xk+1=xk-xk2 для всех k>1. Докажите, что x12+x22+...+xn2<1 для любого n>1.

Подсказка

Рекуррентная формула, задающая последовательность, позволяет выразить квадрат члена последовательности через разность двух членов последовательности.

Решение

Поскольку квадрат положительного числа, меньшего 1, меньше самого числа, то из условия 0<x1<1 и рекуррентной формулы последовательно получаем, что 0<x2<1, 0<x3<1, и т.д. Далее, по условию xk2=xk-xk+1, поэтому выражение x12+x22+...+xn2 можно переписать в виде (x1-x2)+(x2-x3)+...+(xn-xn+1), что равно x1-xn+1. Так как x1<1 и xn+1>0, то x1-xn+1 меньше 1, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .