Задача 53689

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены по одну сторону от прямой AE и имеют единственную общую точку C. Пусть M, N и K – середины отрезков BD, AC и CE соответственно. Докажите, что треугольник MNK равносторонний.

Подсказка

Пусть P и Q – середины отрезков BC и DC соответственно. Докажите, что треугольники MPN и KQM равны.

Решение

  Пусть P и Q – середины отрезков BC и DC соответственно. Тогда  PN = PC = MQ,  PM = CQ = QK,  ∠MPN = ∠MPC + ∠CPN = 240° – α = ∠KQM.  Следовательно, треугольники MPN и KQM равны и  MN = MK.
  Кроме того, поскольку каждый из углов MNC и MKC меньше 60°, то  ∠NMK = ∠PMQ – ∠PMN – ∠QMK = α – ∠PMN – ∠PNM = α – 180° + ∠NPM = 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1423