Задача 53643

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Биссектриса угла ] [ Углы между биссектрисами ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Пусть AE и CD – биссектрисы треугольника ABC. Докажите, что если  ∠BDE : ∠EDC = ∠BED : ∠DEA,  то треугольник ABC — равнобедренный.

Подсказка

Докажите, что  ∠BDE : ∠EDC = 2  и воспользуйтесь задачей 53642.

Решение

  Обозначим  ∠EDC = α,  ∠DEA = β.  Тогда  ∠BDE = kα,  ∠BED = kβ.  Пусть M – точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Тогда
∠DME = 90° + ½ ∠B  (см. задачу 55448),  α + β = ∠EDM + ∠DEM = 180° – ∠DME = 90° – ½ ∠B,  kα + kβ = ∠BDE + ∠BED = 180° – ∠B.
  Поэтому  2(α + β) = kα + kβ,  откуда  k = 2.
  Таким образом, задача свелась к задаче 53642.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1378