|
|
 |
Условие
Пусть AE и CD – биссектрисы треугольника ABC, ∠BED = 2∠AED и ∠BDE = 2∠EDC. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
Подсказка
Пусть M – точка пересечения биссектрис треугольника ABC, N – точка пересечения биссектрис треугольника BDE.
Докажите, что прямая BN перпендикулярна DE.
Решение
Пусть M – точка пересечения биссектрис треугольника ABC, N – точка пересечения биссектрис треугольника BDE (см. рис.). Обозначим
∠EDC = ∠BDN = ∠EDN = α, ∠DEA = ∠BEN = ∠DEN = β.
При симметрии относительно прямой DE луч DM переходит в луч DN, а луч EM – в луч EN, поэтому точка M переходит в точку N. Значит, MN ⊥ DE, то есть биссектриса угла B треугольника DBE является высотой этого треугольника. Следовательно, треугольник DBE – равнобедренный, и α = β. Поэтому треугольники ABE и CBD равны по стороне и двум углам, то есть AB = СB.
Замечания
Ср. с задачей 53643.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1377 |
