Задача 53569

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В окружности с центром O проведён диаметр; A и B — точки окружности, расположенные по одну сторону от этого диаметра. На диаметре взята такая точка M, что AM и BM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что AOB = AMB.

Подсказка

Продолжите AM и BM до пересечения с окружностью и примените теорему об угле между пересекающимися хордами.

Решение

Продолжим AM и BM за точку M до пересечения с окружностью в точках A₁ и B₁. Дуга A₁B₁ симметрична дуге AB относительно диаметра. Поскольку угол AMB измеряется полусуммой равных дуг AB и A₁B₁, то его градусная мера равна градусной мере каждой из этих дуг, т.е. угол AMB равен центральному углу AOB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1310