Задача 53555

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны. Через середины сторон AB и AD проведены прямые, перпендикулярные противоположным сторонам CD и CB соответственно. Докажите, что эти прямые и прямая AC имеют общую точку.

Подсказка

Рассмотрите треугольник с вершинами в серединах отрезков AB, AD и AC.

Решение

Пусть M, N и K — середины отрезков AB, AD и AC соответственно, а P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из точек M и N соответственно на стороны CD и BC четырёхугольника ABCD. По теореме о средней линии треугольника MNBD, MKBC и NKCD. Поэтому высоты треугольника MNK лежат на прямых AC, NQ и MP. Следовательно, эти прямые пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1285