Задача 53537

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол A прямой, стороны  AB = 1  и  BC = 2,  BL – биссектриса, G – точка пересечения медиан. Что больше, BL или BG?

Решение

Из условия следует, что  ∠B = 60°.  По свойству биссектрисы  AL = ⅓ AC,  значит,  BL = ⅔ AC.  Осталось выяснить, что больше: AC или  BM = ³/₂ BG.
Пусть точка M' симметрична M относительно прямой AB. Тогда  AC = MM' > BM,  поскольку  ∠MBM' = 2∠MBA > 60° > ∠AMB.

Ответ

BL > BG.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1266