ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53532
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Анджанс А.

В выпуклом четырёхугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырёхугольника. Докажите, что диагонали равны.


Подсказка

Соедините указанные середины сторон с серединой третьей стороны четырёхугольника.


Решение

  Пусть M, N и K – середины сторон AB, CD и AD четырёхугольника ABCD, причём прямая MN образует равные углы с диагоналями.
  Поскольку MK и KN – средние линии треугольников ABD и ACD, то  ∠KMN = ∠KNM.  Поэтому треугольник MKN – равнобедренный,  KM = KN.  Следовательно,  AC = BD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1261

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .