Информация о задаче

Задача 53515

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, $\angle$ BAC = $\angle$ CDB. Продолжения боковых сторон AB и DC пересекаются в точке K, образуя угол AKD, равный 30^o. Найдите площадь треугольника AKD, если площадь трапеции равна P.

Подсказка

Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная.

Решение

Пусть AD > BC. Тогда точки K и A лежат по разные стороны от прямой BC. Поскольку $\angle$ BAC = $\angle$ CDB, то около трапеции ABCD можно описать окружность. Поэтому трапеция — равнобедренная. Следовательно, треугольники AKD и BKC — также равнобедренные.

Поскольку

$\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ BAD - $\displaystyle \angle$ CAD = 75^o - 45^o = 30^o,

то треугольник ACK — равнобедренный, CK = AC. Тогда

S_BKC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CK²sin 30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ CK²,

а т.к.

P = S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CK²,

то S_BKC = ${\frac{1}{2}}$ P. Следовательно,

S_AKD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ P + P = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ P.

Если AD < BC, то точки K и A лежат по одну сторону от прямой BC. В этом случае, рассуждая аналогично, получим, что

S_AKD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ P.

Ответ

${\frac{3}{2}}$ P или ${\frac{1}{2}}$ P

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1244