Задача 53483

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что  AM = CP,  BN = DQ,  BM = DP,  NC = QA.  Докажите, что ABCD и MNPQ – параллелограммы.

Подсказка

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, – параллелограмм.

Решение

  Из условия следует, что  AB = DC  и  AD = BC. Поэтому ABCD – параллелограмм. Значит,  ∠A = ∠C  и  ∠D = ∠B.
  Из равенства треугольников MAQ и PCN (по двум сторонам и углу между ними) следует, что  MQ = PN.  Аналогично,  MN = PQ.  Следовательно, MNPQ – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1212