Задача 53183

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Сторона ромба ABCD равна 5. В этот ромб вписана окружность радиуса 2,4.
Найдите расстояние между точками, в которых эта окружность касается сторон AB и BC, если диагональ AC меньше диагонали BD.

Решение

  Пусть O – центр окружности, P и Q – её точки касания со сторонами BC и AB, F – точка пересечения отрезков BO и PQ, M – проекция точки A на сторону BC. Тогда  PQ || AC  и F – середина PQ.

  Первый способ. Обозначим  ∠ABC = α < 90°.  Из прямоугольного треугольника AMB находим, что  sin α = ^AM/_AB = ²⁴/₂₅,  cos α = ⁷/₂₅,
cos ^α/₂ = = ⁴/₅.   Поскольку  ∠FPO = ∠OBC = ^α/₂,  то  FP = OP cos ^α/₂ = 2,4·0,8 = 1,92.  Следовательно,  PQ = 2FP = 3,84.

  Второй способ. Поскольку PO – средняя линия треугольника AMC, то  MP = PC.  Поскольку   BM² = AB² – AM² = (⁷/₅)²,  то  PC = ½ (BC – BM) = ⁹/₅,  BP = ¹⁶/₅,
OC² = BC·CP = 9.
  Из подобия треугольников BFP и BOC следует, что  PQ = 2FP = 2BP·^OC/_BC = ⁹⁶/₂₅.

Ответ

3,84.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	878