Задача 53142

Темы:    [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах прямоугольного треугольника, вне его, построены квадраты. Известно, что шесть вершин квадратов, не принадлежащих треугольнику, лежат на окружности радиуса 1. Найдите стороны треугольника.

Подсказка

Центр данной окружности – середина гипотенузы данного треугольника.

Решение

  Пусть вершины M, N, K, L, P, Q квадратов AMNB, CBKL и ACPQ, построенных на гипотенузе AB и катетах BC и AC, лежат на окружности радиуса 1. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам MN, KL и PQ. Эти перпендикуляры являются также серединными перпендикулярами к сторонам треугольника ABC. Следовательно, их точка пересечения совпадает с серединой O гипотенузы AB.
  Поскольку  AM = 2AQ,  то  
  Пусть O₁, O₂ – центры квадратов ACPQ и CBKL. Заметим, что в треугольниках OO₁P и OO₂K  OO₁ = OO₂,  OP = OK,  ∠OO₁P = ∠OO₂K.  Поэтому при повороте на 90° вокруг O они совмещаются. Следовательно,  O₁P = O₂K,  то есть  AC = BC.

Ответ

Замечания

Можно также воспользоваться четвёртым признаком равенства треугольников: по двум сторонам и углу, лежащему против большей из них (он следует из леммы, доказанной в решении задачи 108120).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	836