Информация о задаче

Задача 53095

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD угол BAD — острый. Окружность, вписанная в этот ромб, касается сторон AB и CD в точках M и N соответственно и пересекает отрезок CM в точке P, а отрезок BN — в точке Q. Найдите отношение BQ к QN, если CP : PM = 9 : 16.

Подсказка

Примените теорему косинусов к треугольнику AMC и теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть O — центр окружности, K — точка касания со стороной BC. Обозначим PC = 9x, MP = 16x, $\angle$ BAC = $\alpha$ , R -- радиус окружности. Тогда

MC = 25x, CK² = CM^.CP = 25x^.9x = 225x², CK = 15x,

AM = CK = 15x, AO² = AM² + OM² = 225x² + R²,

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{AM}{OA}}$ = $\displaystyle {\frac{15x}{\sqrt{225x^{2} + R^{2}}}}$ .

По теореме косинусов

MC² = AM² + AC² - 2AM^.AC cos $\displaystyle \alpha$ .

Подставив в это равенство MC, AM, AC и cos $\alpha$ , получим уравнение, из которого найдём, что R = 10x.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. В нём MB^.MA = MO². Следовательно,

MB = $\displaystyle {\frac{MO^{2}}{MA}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}}{15x}}$ = $\displaystyle {\frac{20x}{3}}$ .

Из прямоугольного треугольника BMN находим, что

BN² = BM² + NM² = $\displaystyle {\frac{400x^{2}}{9}}$ + 400x² = $\displaystyle {\frac{400\cdot 10x^{2}}{9}}$ ,

или

BN = $\displaystyle {\frac{20x\sqrt{10}}{3}}$ .

Поскольку BQ^.BN = MB², то

BQ = $\displaystyle {\frac{MB^{2}}{BN}}$ = $\displaystyle {\frac{2x\sqrt{10}}{3}}$ , QN = BN - BQ = $\displaystyle {\frac{10x\sqrt{10}}{3}}$ .

Следовательно, BQ : QN = 1 : 9.

Ответ

1:9.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	764