Информация о задаче

Задача 52907

Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 и 100. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием высоты, построены полуокружности по одну сторону с данным треугольником. Найдите отрезки катетов, заключённые внутри полукругов.

Подсказка

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. Примените эту теорему к каждому из двух прямоугольных треугольников, на которые указанная высота разбивает данный треугольник.

Решение

Пусть M — основание высоты CM треугольника ABC, BC = 75, AC = 100, BD и AE — искомые отрезки. Тогда

AB = $\displaystyle \sqrt{100^{2}+75^{2}}$ = 125, CM = $\displaystyle {\frac{BC\cdot AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{75\cdot 100}{125}}$ = 60.

Отрезок MD — высота прямоугольного треугольника BMC, опущенная из вершины прямого угла M на гипотенузу BC, поэтому

MC² = CD^.CB, или 60² = (75 - BD)75.

Откуда находим, что BD = 27. Аналогично найдём AE.

Ответ

27 и 64.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	574