Задача 52892

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность с центром в вершине прямого угла прямоугольного треугольника радиуса, равного меньшему катету, делит гипотенузу на отрезки в 98 и 527 (начиная от меньшего катета). Найдите катеты.

Подсказка

Примените теорему о высоте прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу.

Решение

Пусть C — вершина прямого угла, BC — меньший катет, D — точка данной окружности, лежащая на гипотенузе AB, BD = 98, AD = 527.

Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на AB. Тогда

BC² = BP ^. AB = 49(527 + 98) = 49 ^. 625.

Поэтому

BC = 7 ^. 25 = 175, AC² = AP ^. AB = 576 ^. 25.

Следовательно, AC = 600.

Ответ

175 и 600.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	559