Информация о задаче

Задача 52841

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC известно, что $\angle$ A = $\alpha$ > 90^o и BC = a. Найдите расстояние между точкой пересечения высот и центром описанной окружности.

Подсказка

Высота, проведенная к боковой стороне треугольника, образует с основанием угол, равный ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Решение

Пусть H — точка пересечения высот, O — центр описанной окружности, K — середина BC. Точки H и O лежат по разные стороны от прямой BC.

OH = HK + OK = BKtg $\displaystyle \angle$ HBC + KCctg $\displaystyle \angle$ AOC =

= $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ ctg(180^o - $\displaystyle \alpha$ ) = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{{\rm tg }\frac{\alpha}{2} - {\rm ctg }\alpha}\right.$ tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ - ctg $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{{\rm tg }\frac{\alpha}{2} - {\rm ctg }\alpha}\right)$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ a $\left(\vphantom{{\rm tg }\frac{\alpha}{2} - {\rm ctg }\alpha}\right.$ tg ${\frac{\alpha}{2}}$ - ctg $\alpha$ $\left.\vphantom{{\rm tg }\frac{\alpha}{2} - {\rm ctg }\alpha}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	507