Задача 52792

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Теорема косинусов ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC  BC = 4,  AB = 2 .   Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла C. Найдите AC.

Решение

  Пусть A₁, B₁ и C₁ – середины BC, AC и AB соответственно, O – центр данной окружности.
  Поскольку треугольники A₁B₁C₁ и B₁A₁C равны, то радиусы данной окружности ω и описанной окружности ω₁ треугольника A₁B₁C равны.
  Пусть прямая OC пересекает ω₁ в точке M. Тогда  MA₁ = MB₁  и  OA₁ = OB₁.  Поэтому если точки O и M не совпадают, то  OC ⊥ A₁B₁,  а так как CO – биссектриса угла C, то  CA₁ = CB₁  и  AC = BC = 4,  AC + BC = 4 + 4 = 8 < AB,  что невозможно. Значит, точки M и O совпадают, то есть центр ω лежит на ω₁. Поэтому  ∠A₁OB₁ + ∠A₁CB₁ = 180°,  то есть   2∠C + ∠C = 180°,  ∠C = 60°.
 По теореме косинусов  AC² + 16 – 4AC = 76, откуда AC = 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	457