Задача 52468

Темы:    [ Теорема Птолемея ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Площадь четырехугольника ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4- Классы: 8,9 Название задачи: Теорема Птолемея.

Условие

Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.

Решение

  Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность.

  Первый способ. Рассмотрим на диагонали AC такую точку P, что  ∠ABP = ∠CBD  (рис. слева).
  Треугольники ABP и DBC подобны по двум углам. Поэтому  ∠AB : AP = BD : CD,  то есть  AB·CD = AP·BD.
  Поскольку  ∠ABD = ∠ABP + ∠PBD = ∠CBD + ∠PBD = ∠PBC,  треугольники PBC и ABD также подобны по двум углам. Поэтому  BC·AD = PC·BD.
  Сложив почленно эти равенства, получим, что  AB·CD + BC·AD = AP·BD + BD·PC = BD·(AP + PC) = BD·AC.

  Второй способ. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O и  ∠AOB = γ  (рис. справа). Тогда  S_ABCD = AC·BD sin γ,  а  γ = ½ (⌣AB + ⌣CD).
  Пусть C₁ – точка, симметричная вершине C относительно серединного перпендикуляра к отрезку BD. Тогда точка C₁ также лежит на окружности, четырёхугольники ABCD и ABC₁D равновелики,  BC₁ = DC,  DC₁ = BC,  а  ∠ADC₁ = ½ (⌣AB + ⌣CD) = γ.
  Значит,  S_ABCD = S_ABC1D = S_ADC1 + S_ABC1 = AD·DC₁ sin γ + AB·BC₁ sin(180° − γ) = (AD·BC + AB·CD) sin γ.  Таким образом,  AC·BD sin γ = (AD·BC + AB·CD) sin γ,  то есть  AC·BD = AD·BC + AB·CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	130
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	3
Название	Теорема Птолемея
Тема	Теорема Птолемея
задача
Номер	06.034