Задача 52408

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Пятиугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

Подсказка

Пусть A₁, A₂, A₃, A₄ – основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BC, DC, DE и BE соответственно. Тогда треугольник AA₁A₄ подобен треугольнику AA₂A₃.

Решение

  Пусть A₁, A₂, A₃, A₄ – основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BC, DC, DE и BE соответственно.
  Точки A₁ и A₄ лежат на окружности с диаметром AB, а точки A₁ и A₁ – на окружности с диаметром AD. Поэтому  ∠AA₁A₄ = ∠ABE = ∠ADE = ∠AA₂A₃,
∠A₁AA₄ = ∠CBE = ∠A₂AA₃.
  Следовательно, треугольники AA₁A₄ и AA₂A₃ подобны и  AA₁ : AA₂ = AA₄ : AA₃.  Отсюда  AA₄ = AA₁·^AA₃/_AA2 = ^ac/_b.

Ответ

^ac/_b.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	70
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М122
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	6
Название	Вписанный угол и подобные треугольники
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.059