Задача 52372

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Продолжения высот остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что биссектрисы треугольника A₁B₁C₁ лежат на прямых AA₁, BB₁, CC₁.

Подсказка

ACC₁ = ABB₁.

Решение

Дуги AC₁ и AB₁ равны, т.к. на них опираются равные вписанные углы ACC₁ и ABB₁ (каждый из них в сумме с углом BAC составляет 90^o). Следовательно,

AA₁C₁ = AA₁B₁,

т.е. луч A₁A — биссектриса угла C₁A₁B₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	34