ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 37006
Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В тетраэдре DABC  ∠ACB = ∠ADB,  ребро СD перпендикулярно плоскости АВС. В треугольнике АВС дана высота h, проведённая к стороне АВ, и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите CD.


Решение

  Пусть в тетраэдре DABC точка Р – основание перпендикуляра, опущенного на прямую АВ из точки С, тогда по теореме о трёх перпендикулярах  DPAB  (рис. слева).  Так как  ∠ACB = ∠ADB,  то равны и радиусы описанных окружностей граней ABC и ABD. Так как  СD ⊥ (АВС),  то эти грани не могут быть равными.
  Рассмотрим треугольник АВС и треугольник АВD', равный треугольнику АВD, вписав их в одну окружность (рис. справа). Так как  ∠ACB = ∠AD'B,  то они расположены в одной полуплоскости относительно АВ. Кроме того, перпендикуляры, проведённые к прямой АВ из точек С и D', попадут в одну и ту же точку Р.

             
  Поэтому  CP = h,  D'P = h + 2(d – h) = 2d – h.  Так как  DP = D'P,  то  CD² = DP² – CP² = (2d – h)² – h² = 4d(d – h).


Ответ

2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 02 (2004 год)
Дата 2004-04-11
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .