Задача 35460

Темы:    [ Ломаные ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что всякую замкнутую ломаную периметра Р можно заключить в круг, радиус которого не превосходит ^Р/₄.

Подсказка

Рассмотрите две точки, делящие периметр ломаной пополам. Возьмите за центр круга середину отрезка, соединяющего эти точки.

Решение

  Рассмотрим на ломаной две точки A и B, делящие периметр ломаной пополам. Рассмотрим некоторую точку C на ломаной. Сумма длин отрезков AC и BC не превосходит периметра одной из двух ломаных с концами A и B, то есть  AC + BC ≤ ^P/₂.  Отразив точку C симметрично относительно точки O, получим точку C'. Четырёхугольник ACBC' – параллелограмм, поскольку его диагонали делятся точкой O пополам. Значит,  BC' = AC,  и из треугольника BCC' получаем, что  2CO = CC' ≤ BC + BC' = BC + AC ≤ ^P/₂,  и, следовательно,  СО ≤ ^P/₄.
  Таким образом, каждая точка C ломаной лежит внутри круга радиуса ^P/₄ с центром в точке O.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача