|
|
 |
Условие
В окружность вписан выпуклый шестиугольник ABCDEF.
а) Известно, что диагонали AD, BE, CF пересекаются в одной точке. Докажите, что AB·CD·EF = BC·DE·FA.
б) Известно, что AB·CD·EF = BC·DE·FA. Докажите, что диагонали AD, BE, CF пересекаются в одной точке.
Подсказка
Используйте подобие треугольников.
Решение
а) Пусть O – точка пересечения диагоналей шестиугольника. Треугольники ABO и EDO подобны, так как пары углов BAO, DEO и ABO, EDO являются вписанными в окружность, опирающимися на одну дугу. Из подобия этих треугольников следует, что AB : DE = AO : EO. Аналогично EF : BC = EO : CO и CD : FA = CO : AO. Перемножая три полученных равенства, имеем:
б) Пусть O – точка пересечения диагоналей AD и BE, а G – вторая точка пересечения прямой CO с описанной окружностью (она лежит на дуге AE, содержащей точку F). Согласно п. а) GA : EG = FA : EF. Значит, точки F и G совпадают (если бы, например, G лежала между A и F, то GA < FA, EG > EF и GA : EG < FA : EF).
Замечания
Это аналог теоремы Чевы для вписанных шестиугольников.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
